Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей
Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязательно должен осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более экономично.
Метод наложения
Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными.
Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.
Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением
 . |
(1) |
Здесь 
- комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; 
- комплекс взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.
Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом 
, что непосредственно вытекает из свойства взаимности (см. ниже).
Аналогично определяются коэффициенты передачи тока 
, которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.
Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.
Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например 
, то получим
 , |
(2) |
где 
- определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов; 
- алгебраическое дополнение определителя 
.
Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока 
в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только в один 
-й контур, т.е. контурный ток 
будет равен действительному току 
h-й ветви, то принцип наложения справедлив для токов 
любых ветвей и, следовательно, справедливость принципа наложения доказана.
Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.
В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы на рис. 1,а.
Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника тока – бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным схемам на рис. 1,б…1,г.
В этих цепях
; 
; 
,
где 
; 
; 
.
Таким образом,
.
В качестве другого примера использования метода определим взаимные проводимости 
и 
в цепи на рис. 2, если при переводе ключа в положение 1 токи в первой и второй ветвях соответственно равны 
и 
, а при переводе в положение 2 - 
и 
.
Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в положении “1” можно записать
 ; |
(3) |
 . |
(4) |
При переводе ключа в положение “2” имеем
 ; |
(5) |
 .. |
(6) |
Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим
;
,
откуда искомые проводимости
; 
.
Принцип взаимности
Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток 
в k – й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС 
, находящейся в i – й ветви,
будет равен току 
в i – й ветви, вызванному ЭДС 
, численно равной ЭДС 
, находящейся в k – й ветви,
.
Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение 
.
Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС 
, действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток 
(см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС 
вызовет в первой ветви такой же ток 
(см. рис. 3,б).
В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить ток 
, вызываемый источником ЭДС 
.
Перенесение источника ЭДС 
в диагональ моста, где требуется найти ток, трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на рис. 4,б. В этой цепи
 , |
(7) |
где 
.
В соответствии с принципом взаимности ток 
в цепи на рис. 4,а равен току, определяемому соотношением (7)
.
Линейные соотношения в линейных электрических цепях
При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между собой соотношением
 , |
(8) |
где А и В – некоторые в общем случае комплексные константы.
Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС 
в k – й ветви для тока в m – й ветви можно записать
 |
(9) |
и для тока в n – й ветви –
 . |
(10) |
Здесь 
и 
- составляющие токов соответственно в m – й и n – й ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме 
.
Умножив левую и правую части (10) на 
, вычтем полученное соотношением из уравнения (9). В результате получим
 . |
(11) |
Обозначив в (11) 
и 
, приходим к соотношению (8).
Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное соотношение для напряжений в линейной цепи.
В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами 
и 
в схеме с переменным резистором на рис. 5, где 
; 
; 
.
Коэффициенты А и В можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, соответствующие двум произвольным значениям 
.
Выбрав в качестве этих значений 
и 
, для первого случая ( 
) запишем
.
Таким образом, 
.
При 
(режим короткого замыкания)
,
откуда
.
На основании (8)
.
Таким образом,
.
Принцип компенсации
Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.
Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением 
, по которой протекает ток 
, а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а).
При включении в ветвь с 
двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источников ЭДС с 
(рис. 6,б) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи
 . |
(12) |
Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана.
В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с известным током 
можно заменить источником тока 
.
Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ: 
, где 
; 
.
. Определить токи в остальных ветвях схемы, воспользовавшись линейным соотношением, принципом компенсации и методом наложения.
Ответ: 
; 
.
