Переходные процессы в нелинейных цепях
Особенности расчета переходных процессов в нелинейных цепях
Переходные процессы в нелинейных электрических цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, общих методов интегрирования которых не существует. На нелинейные цепи не распространяется принцип суперпозиции, поэтому основанные на нем методы, в частности классический или с использованием интеграла Дюамеля, для расчета данных цепей не применимы.
Анализ переходных режимов в электрических цепях требует использования динамических характеристик нелинейных элементов, которые, в свою очередь, зависят от происходящих в них динамических процессов и, следовательно, в общем случае наперед неизвестны. Указанное изначально обусловливает в той или иной степени приближенный характер расчета переходных процессов.
Переходный процесс в нелинейной цепи может характеризоваться переменной скоростью его протекания в различные интервалы времени. Поэтому понятие постоянной времени в общем случае не применимо для оценки интенсивности протекания динамического режима.
Отсутствие общности подхода к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений обусловило наличие в математике большого числа разнообразных методов их решения, нацеленных на различные типы уравнений. Применительно к задачам электротехники все методы расчета по своей сущности могут быть разделены на три группы:
– аналитические методы, предполагающие либо аналитическое выражение характеристик нелинейных элементов, либо их кусочно-линейную аппроксимацию;
– графические методы, основными операциями в которых являются графические построения, часто сопровождаемые вспомогательными вычислительными этапами;
– численные методы, основанные на замене дифференциальных уравнений алгебраическими для приращений переменных за соответствующие интервалы времени.
Аналитические методы расчета
Аналитическими называются методы решения, базирующиеся на аналитическом интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих состояние нелинейной цепи с использованием аналитических выражений характеристик нелинейных элементов.
Основными аналитическими методами, используемыми при решении широкого круга задач электротехники, являются:
– метод условной линеаризации;
– метод аналитической аппроксимации;
– метод кусочно-линейной аппроксимации.
Метод условной линеаризации
Метод условной линеаризации применяется в случаях, когда в нелинейном уравнении одно из слагаемых в левой части мало по сравнению с другими, вследствие чего, без внесения существенной погрешности, его можно соответствующим образом линеаризовать. Благодаря этому все уравнение становится линейным для одной из переменных, определяющих характеристику 
нелинейного элемента, например 
. С использованием этой характеристики находится затем временная зависимость 
для второй определяющей ее переменной по алгоритму:
.
Метод отличается простотой, однако получаемое с его использованием решение является достаточно приближенным, вследствие чего он в основном применяется для ориентировочных расчетов.
В качестве примера использования метода определим максимальное значение тока в цепи на рис. 1, если 
, где 
; 
; 
; 
. Вебер–амперная характеристика нелинейной катушки индуктивности приведена на рис. 2.
1. Запишем уравнение состояния цепи после коммутации
 . |
(1) |
2. Используя метод условной линеаризации, определим второе слагаемое в левой части (1) как
 , |
(2) |
где 
; 
и 
- амплитуды потокосцепления и тока в установившемся послекоммутационном режиме; 
.
3. Подставив (2) в (1), получим линейное дифференциальное уравнение
,
решением которого на основании классического метода расчета переходных процессов является
.
4. Принужденная составляющая 
определяется соотношением
,
где 
.
Для определения 
и 
предположим (с последующей проверкой), что 
. При этом условии 
и 
. По зависимости 
для полученного значения 
найдем 
.Тогда 
и 
, т.е. сделанное выше предположение корректно.
Следует отметить, что в общем случае значения 
и 
могут быть определены, например, итерационным методом.
Определив 
, запишем
.
Поскольку по условию 
, то 
.
Таким образом,
 . |
(3) |
6. Не решая трансцендентное уравнение, будем считать, что максимальное значение потокосцепления имеет место примерно через полпериода своего изменения, т.е. при 
. Подставив это время в (3), получим:
По кривой 
для 
найдем максимальное значение тока 
, которое в 
раз превышает амплитуду тока в установившемся послекоммутационном режиме. Напомним, что для линейной цепи 
Примечания: 1. Обычно при использовании метода условной линеаризации для расчета переходного процесса при подключении нелинейной катушки индуктивности к источнику синусоидального напряжения эквивалентная линейная индуктивность 
определяется исходя из амплитудных значений тока и потокосцепления в установившемся послекоммутационном режиме, как это и было сделано в рассмотренном выше примере. Однако если необходимо оценить максимально возможное значение тока, то величину индуктивности следует определять по начальному участку вебер–амперной характеристики, где 
максимальна.
2. Если сопротивление резистора в ветви с нелинейной катушкой достаточно велико, так что 
, то следует пренебречь нелинейностью слагаемого 
, положив 
. В этом случае нелинейное уравнение (1) сводится к линейному вида
,
и соответственно кривая 
определяется по кривым 
и 
.
Метод аналитической аппроксимации
Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента аналитической функцией, которая должна, с одной стороны, достаточно точно отображать исходную нелинейную характеристику на участке перемещения рабочей точки, а с другой стороны, обеспечивать возможность достаточно несложного интегрирования полученного дифференциального уравнения (в частности, с использованием табличных интегралов).
Метод применим к нелинейным цепям с одним накопителем энергии, описываемым дифференциальными уравнениями первого порядка, а также к цепям, описываемым уравнениями, сводящимися к уравнениям первого порядка путем замены переменных.
Ценность метода заключается в получении выражения исследуемой величины в общем виде, что позволяет осуществлять требуемый анализ процессов при варьировании параметров схемы.
В качестве примера использования метода определим ток в схеме на рис. 3, полагая, что характеристика 
нелинейной катушки имеет вид типовой кривой на рис. 2.
1. Для решения задачи выберем выражение аналитической аппроксимации вида 
. Определяя параметр 
из условия соответствия данной функции точке установившегося послекоммутационного режима, получим
 , |
(4) |
где 
.
2. Подставив в уравнение переходного процесса
аналитическое выражение тока с учетом (4), получим
 |
(5) |
Разделяя переменные и решая (5) относительно времени, запишем
 |
(6) |
где 
– начальное значение потокосцепления, соответствующее значению тока в момент коммутации 
.
Выражение (6) соответствует табличному интегралу; в результате получаем
 . |
(7) |
Подставив в последнее соотношение выражение потокосцепления в виде
,
перепишем (7) как
.
Метод кусочно–линейной аппроксимации
Данный метод основан на замене характеристики нелинейного элемента отрезками прямых, на основании чего осуществляется переход от нелинейного дифференциального уравнения к нескольким (по числу прямолинейных отрезков) линейным, которые отличаются друг от друга только значениями входящих в них коэффициентов. Необходимо помнить, что каждое из линейных уравнений справедливо для того временного интервала, в течение которого рабочая точка перемещается по соответствующему линеаризованному участку. Временные границы для каждого участка определяются исходя из достижения одной (любой) из переменных, определяющих характеристику нелинейного элемента, своих граничных значений для рассматриваемого прямолинейного участка. В соответствии с законами коммутации значения тока в ветви с катушкой индуктивности или напряжения на конденсаторе в эти моменты времени являются начальными значениями соответствующих переменных для соседних прямолинейных участков, на основании чего определяются постоянные интегрирования. Значение параметра линеаризуемого нелинейного элемента для каждого участка ломаной определяется тангенсом угла, образованного рассматриваемым прямолинейным отрезком с соответствующей осью системы координат.
В качестве примера рассмотрим применение данного метода для решения предыдущей задачи.
1. Заменим рабочий участок зависимости 
(см. рис. 2) двумя прямолинейными отрезками 
и 
. Первому из них соответствует уравнение 
, второму – 
. При этом начальная точка 
определяется током 
, а конечная точка 
- током 
.
Соответствующие этим участкам индуктивности
;
.
2. В соответствии с указанной линеаризацией нелинейное дифференциальное уравнение состояния цепи
заменяется двумя линейными:
;
.
3. Решением первого уравнения является
и второго -
,
где 
; 
; 
; 
.
Время t1, соответствующее моменту перехода с первого участка на второй, определим из уравнения
,
откуда
.
Литература
Контрольные вопросы и задачи
выражением 
, определить ток в цепи на рис. 1 при ее включение на постоянное напряжение 
.
Ответ: 
.
, подобной 
на рис. 2, методом кусочно-линейной аппроксимации определить зависимость 
. 
